Lec 11 Geomertry 2 (Curves and Surfaces)

阅读信息

约 448 个字 3 分钟本页总访问量：加载中... 次

Explicit Representations

1. Point Cloud
list of points (x,y,z)
直接扫描得到点云，需要通过算法转化为三角形面
如果点云密度过低，则不能画出图像

2. Polygon Mesh
三角形面表示 Wavefront Object File (.obj) Format: v 表示点的坐标，vn 表示法线，vt 表示纹理坐标，f 表示面的顶点的编号

贝塞尔曲线：用一系列控制点定义曲线

e.g.满足条件：

Bezier

Consider three points (quadratic Bezier):

将起点到终点视为 0~1，对其中任一个比例为 t 的点，按下图方法确定：

Bezier 3

四点：

Bezier 4

Bernstein form of a Bezier curve of order n:

\[b^n(t)=\sum_{j=0}^nb_jB_j^n(t)\]

Bernstein polynomials:

\[B_i^n(t)=\begin{pmatrix}n \\ i\end{pmatrix}t^i (1-t)^{n-i}\]

e.g.

2D:

\[b^2(t)=b_0(1-t)^2+b_1 2t(1-t)+b_2 t^2\]

3D:

\[b^3(t)=b_0 (1-t)^3+b_1 3t(1-t)^2+b_2 3t^2(1-t)+b_3 t^3\]

Affine transformation property: transform curve by transforming control points.
在仿射变换下，变换控制点再用变换后的点画曲线，和直接对曲线上点变换，两者结果相同。
但仅对仿射变换成立，投影等变换不成立。
Convec hull property: curve is within convex hull of control points.
绘制的贝塞尔曲线一定在所有控制点形成的凸包内。
e.g. 若控制点共线，则贝塞尔曲线是这条线本身

用多个控制点同时控制一条曲线，中间部分不能反映趋势。用多组点逐段控制，一般每四个点控制一段，再将所有曲线连接。

若控制杆和中间点共线，且控=控制杆大小相同，则认为连接点处曲线连续。

Continuity:

\(C^0\) continuity: \(a_n=b_n\)，几何上不间断

\(C^1\) continuity: \(a_n=b_0=\frac{1}{2}(a_{n-1}+b_1)\)，前后控制杆长度相同，切线连续

Spline（样条）：由一系列控制点控制的曲线，满足特定的连续性

B-Spline（基样条）: 对贝塞尔曲线的增强，增加了局部性，改动一个点影响曲线的一个范围内而不是影响整个曲线