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Lec 05 Reflectance & Lighting

反射

提醒

和 GAMES101 部分重合，这里略写。

BRDF

BRDF（Bi-direction Reflectance Distribution Function）：$\rho(\omega_o,\omega_i)$

一般在局部坐标系中计算反射，物体表面法向量和 Z 轴重合

\[L_o(\omega_o)=\sum_i \rho_{bd}(\omega_o,\omega_i)L_i(\omega_i)\cos\theta_i\]

其中$\cos\theta_i$表示光照倾斜时散开的效果

采集 BRDF：

用平面或球面作为 sample，采集后存储为四维数组，或按模型拟合

散射（Diffuse）：

常用假设：同一个点在不同视角的照片中相同，即假设为 diffuse。

朗伯模型（Lambert's Model）

表现散射，BRDF 是常数。常用模型。

冯氏模型（Phong's Model）

表现高光，光线集中在镜面反射方向，其他方向按 cos 指数级减弱。

其他模型

微表面理论（Microfacet Theory）：需要统计所有微表面的朝向

Cook-Torrance 模型：假设每个微表面为完全镜面
Oren-Nayar 模型：假设每个微表面为完全的朗伯模型

辐射学图像分析

基于朗伯模型的光度立体重建

方法 I

1. 求解法向量

光源不同角度，拍摄多张照片,I 表示 Intensity。

已知：

\[ \begin{cases} I_1 = \rho \, \mathbf{n} \cdot \mathbf{l}\_1 \\ I_2 = \rho \, \mathbf{n} \cdot \mathbf{l}\_2 \\ I_3 = \rho \, \mathbf{n} \cdot \mathbf{l}\_3 \end{cases} \]

写成矩阵形式：

\[ \begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \\ I_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \mathbf{l}\_1^T \\ \mathbf{l}\_2^T \\ \mathbf{l}\_3^T \end{pmatrix} \rho \mathbf{n} \]

记：

\[ \mathbf{I} = \begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \\ I_3 \end{pmatrix}, \quad L =\begin{pmatrix} \mathbf{l}\_1^T \\ \mathbf{l}\_2^T \\ \mathbf{l}\_3^T \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \rho \mathbf{n} \]

则：

\[ \mathbf{I} = L \mathbf{b} \]

由于 $ L,\mathbf{I}$ 已知，可得：

\[ \mathbf{b} = L^{-1} \mathbf{I} \]

求得：

\[ \rho = \|\mathbf{b}\|\; , \;\mathbf{n} = \frac{1}{\rho} \mathbf{b} \]

2. 由法向量重建表面

假设曲面为$(x, y, Z(x,y))$，则其法向量为：

\[ \mathbf{n}(x,y) = \frac{1}{\sqrt{Z_x^2 + Z_y^2 + 1}} \begin{pmatrix} -Z_x \\ -Z_y \\ 1 \end{pmatrix} \]

若记：

\[ \mathbf{n}(x,y) = \begin{pmatrix} n_1(x,y) \\ n_2(x,y) \\ n_3(x,y) \end{pmatrix} \]

则可得偏导关系：

\[ Z_x(x,y) = \frac{n_1(x,y)}{n_3(x,y)}, \quad Z_y(x,y) = \frac{n_2(x,y)}{n_3(x,y)} \]

我们可以通过沿路径积分来恢复任意点的表面高度，例如：

\[ Z(x, y) = \int_0^x Z_x(s, y) \, ds + \int_0^y Z_y(x, t) \, dt + c \]

由于噪声，这种方法无法得到正确的结果！

我们必须有：

\[ \frac{\partial Z_x(x, y)}{\partial y} = \frac{\partial Z_y(x, y)}{\partial x} \]

方法 II

切向量 $ \boldsymbol{v}_1 $ 与法向量 $ \boldsymbol{n} $ 垂直：

\[ \begin{aligned} \boldsymbol{v}_1 &= \big(x+1, y, Z(x+1, y)\big) - \big(x, y, Z(x, y)\big) \\ &= \big(1, 0, Z(x+1, y) - Z(x, y)\big) \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} 0 &= n \cdot v_1 \\ &= (n_1, n_2, n_3) \cdot \big(1, 0, Z(x+1, y) - Z(x, y)\big) \\ &= n_1 + n_3 \big(Z(x+1, y) - Z(x, y)\big) \end{aligned} \]

$ v_2 $ 得到一个类似的方程，每个法向量对 $ Z $ 给出两个线性约束，通过求解矩阵方程计算 $ Z $ 的值

稀疏矩阵，用 Conjugated Gradient algorithm 求解。

仍然存在低频失真（low-frequency distortion）的问题，整体形状可能倾斜、扭曲等。

捕捉光线

方向光：

镜面球体，用反射光角度推入射光

环境光：

环境光定义为照射到物体表面的球面函数。

类似光线追踪方法