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Camera Model

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射影几何

  • 欧氏几何中的平面直线\(ax + by + c = 0\)

  • 多个方程对应同一条直线: \((ka)x + (kb)y + kc = 0, \forall k \neq 0\)

  • 平面直线的齐次表示\((a, b, c)^T \sim k(a, b, c)^T\)

  • 欧氏几何中的平面点\(\mathbf{x} = (x, y)^T\)

  • 点的齐次表示

\[ \mathbf{x} = (x, y, 1)^T \quad (x, y, 1)^T \sim k(x, y, 1)^T, \forall k \neq 0 \]
  • 齐次坐标\((x_1, x_2, x_3)^T\),但只有 2 个自由度 (2DOF)

  • 点在直线上\(\mathbf{x}\)在直线\(l\)上当且仅当:

\[ \mathbf{x}^T l = (x, y, 1)(a, b, c)^T = ax + by + c = 0 \]
  • 两条直线\(l\)\(l'\)的交点
\[ \mathbf{x} = l \times l' \]

平行直线叉乘,最后一位为 0,表示无穷远点。
所有无穷远点排成一条直线,称为无穷远线。

  • 过两点\(\mathbf{x}\)\(\mathbf{x}'\)的直线
\[ l = \mathbf{x} \times \mathbf{x}' \]
  • 二次曲线 (Conics)

平面上由二阶方程描述的曲线:

\[ ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 \]

或齐次化形式:

\[ x \mapsto \frac{x_1}{x_3}, \quad y \mapsto \frac{x_2}{x_3} \]
\[ ax_1^2 + bx_1x_2 + cx_2^2 + dx_1x_3 + ex_2x_3 + fx_3^2 = 0 \]

或矩阵形式:

\[ \mathbf{x}^T \mathbf{C} \mathbf{x} = 0 \quad \text{其中} \quad \mathbf{C} = \begin{bmatrix} a & b/2 & d/2 \\ b/2 & c & e/2 \\ d/2 & e/2 & f \end{bmatrix} \]

系数构成六维向量\({a,b,c,d,e,f}\),由于只考虑比值,自由度为 5。

五个点能拟合一条二次曲线: