Camera Model
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射影几何
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欧氏几何中的平面直线:\(ax + by + c = 0\)
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多个方程对应同一条直线: \((ka)x + (kb)y + kc = 0, \forall k \neq 0\)
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平面直线的齐次表示:\((a, b, c)^T \sim k(a, b, c)^T\)
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欧氏几何中的平面点:\(\mathbf{x} = (x, y)^T\)
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点的齐次表示:
\[
\mathbf{x} = (x, y, 1)^T \quad (x, y, 1)^T \sim k(x, y, 1)^T, \forall k \neq 0
\]
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齐次坐标\((x_1, x_2, x_3)^T\),但只有 2 个自由度 (2DOF)
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点在直线上:\(\mathbf{x}\)在直线\(l\)上当且仅当:
\[
\mathbf{x}^T l = (x, y, 1)(a, b, c)^T = ax + by + c = 0
\]
- 两条直线\(l\)和\(l'\)的交点:
\[
\mathbf{x} = l \times l'
\]
平行直线叉乘,最后一位为 0,表示无穷远点。
所有无穷远点排成一条直线,称为无穷远线。
- 过两点\(\mathbf{x}\)和\(\mathbf{x}'\)的直线:
\[
l = \mathbf{x} \times \mathbf{x}'
\]
- 二次曲线 (Conics)
平面上由二阶方程描述的曲线:
\[
ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0
\]
或齐次化形式:
\[
x \mapsto \frac{x_1}{x_3}, \quad y \mapsto \frac{x_2}{x_3}
\]
\[
ax_1^2 + bx_1x_2 + cx_2^2 + dx_1x_3 + ex_2x_3 + fx_3^2 = 0
\]
或矩阵形式:
\[
\mathbf{x}^T \mathbf{C} \mathbf{x} = 0 \quad \text{其中} \quad
\mathbf{C} =
\begin{bmatrix}
a & b/2 & d/2 \\
b/2 & c & e/2 \\
d/2 & e/2 & f
\end{bmatrix}
\]
系数构成六维向量\({a,b,c,d,e,f}\),由于只考虑比值,自由度为 5。
五个点能拟合一条二次曲线: