数学基础

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数学基础

算符 nabla：

\[\vec{\nabla}=\frac{\partial}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial}{\partial z}\vec{k}\]

梯度

标量函数\(f=f(x,y,z)\)的梯度，输入为标量、输出为矢量：

\[\vec{\nabla}f=\frac{\partial f}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{k}\]

设\(\vec{\nabla}f\)和\(d\vec{l}\)之间的夹角为\(\theta\)，则

\[df=|\vec{\nabla}f||d\vec{l}|\cos\theta,\quad|\vec{\nabla}f|=\frac{df_{max}}{|d\vec{l}|}\]

即梯度是导数下降最快的方向。

散度

矢量函数\(f=(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z))\)的散度，输入为矢量、输出为标量：

\[\vec{\nabla}\cdot \vec{f}=P_x'+Q_y'+R_z'\]

散度表示单位立方体中矢量场线的净流出量（假象立方体，\(P_x'\)表示 x 方向相对的两个面的净流出量，etc.）。散度大于零，表示源；散度小于零，表示汇；散度等于零，表示无源。

散度定理（高斯定理）：

\[\oint_{\tau}\vec{A}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\int_{\tau}(\vec{\nabla}\cdot\vec{A})\mathrm{d}\tau\]

证明

待补充。

旋度

矢量函数\(f=(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z))\)的旋度，输入为矢量、输出为矢量：

\[ \begin{align*} \vec{\nabla}\times \vec{f}&=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} \\ &= \left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}\right)\vec{i} + \left(\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}\right)\vec{j} + \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\vec{k} \end{align*} \]

旋度的几何含义

什么是"有旋"？

首先理解"旋"的概念： - 有旋：矢量场有"环绕"或"涡旋"的性质，就像漩涡中的水流 - 无旋：矢量场没有环绕性质，就像平行直流的水流 - 旋度：衡量矢量场在某点附近的"旋转强度"

旋度的物理本质

旋度实际上衡量的是：单位面积内矢量场的环流强度

数学推导：为什么旋度表示旋转强度

让我详细解释旋度公式中z分量的含义：

z分量：

\(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\)

想象在xy平面上有一个小矩形，边长为\(\Delta x\)和\(\Delta y\)：

1. 沿着矩形边界的环流

沿矩形边界逆时针方向计算环流： - 底边：从\((x, y)\)到\((x+\Delta x, y)\)，贡献\(P(x,y) \cdot \Delta x\) - 右边：从\((x+\Delta x, y)\)到\((x+\Delta x, y+\Delta y)\)，贡献\(Q(x+\Delta x,y) \cdot \Delta y\) - 顶边：从\((x+\Delta x, y+\Delta y)\)到\((x, y+\Delta y)\)，贡献\(-P(x,y+\Delta y) \cdot \Delta x\) - 左边：从\((x, y+\Delta y)\)到\((x, y)\)，贡献\(-Q(x,y) \cdot \Delta y\)

2. 总环流

\[\Gamma = P(x,y)\Delta x + Q(x+\Delta x,y)\Delta y - P(x,y+\Delta y)\Delta x - Q(x,y)\Delta y\]

3. 利用泰勒展开

• \(Q(x+\Delta x,y) \approx Q(x,y) + \frac{\partial Q}{\partial x}\Delta x\)
• \(P(x,y+\Delta y) \approx P(x,y) + \frac{\partial P}{\partial y}\Delta y\)

代入得：

\[ \Gamma \approx \frac{\partial Q}{\partial x}\Delta x \Delta y - \frac{\partial P}{\partial y}\Delta x \Delta y = \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\Delta x \Delta y\]

4. 单位面积的环流（旋度的z分量）

\[(\vec{\nabla}\times \vec{f})_z = \frac{\Gamma}{\Delta x \Delta y} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\]

为什么旋度不为零表示有旋？

核心理解：旋度衡量的是环流密度

• 旋度 ≠ 0：净环流 ≠ 0 → 存在旋转趋势 → 有旋
• 旋度 = 0：净环流 = 0 → 无旋转趋势 → 无旋

具体例子

例子1：纯旋转场（有旋）

\[\vec{f} = (-y, x, 0)\]

计算z分量：

\[(\vec{\nabla}\times \vec{f})_z = \frac{\partial x}{\partial x} - \frac{\partial(-y)}{\partial y} = 1 - (-1) = 2\]

这表示绕z轴逆时针旋转，旋度不为零，所以有旋。

例子2：径向场（无旋）

\[\vec{f} = (x, y, 0)\]

计算z分量：

\[(\vec{\nabla}\times \vec{f})_z = \frac{\partial y}{\partial x} - \frac{\partial x}{\partial y} = 0 - 0 = 0\]

这是从原点向外发散的场，虽然不是平行流，但没有旋转，所以无旋。

例子3：剪切流（有旋）

\[\vec{f} = (y, 0, 0)\]

计算z分量：

\[(\vec{\nabla}\times \vec{f})_z = \frac{\partial 0}{\partial x} - \frac{\partial y}{\partial y} = 0 - 1 = -1\]

旋度定理（斯托克斯定理）：

\[\oint_C\vec{A}\cdot\mathrm{d}\vec{l}=\int_S(\vec{\nabla}\times\vec{A})\cdot\mathrm{d}\vec{S}\]

证明

待补充。

拉普拉斯算子

标量函数\(f=f(x,y,z)\)作用给拉普拉斯算子：

\[ \begin{align*} \Delta f&=\nabla\cdot\nabla f \\ &=(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z})\cdot(f_x',f_y',f_z') \\ &=f_{xx}''+f_{yy}''+f_{zz}'' \end{align*} \]