数学基础

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数学基础

算符 nabla：

\[\vec{\nabla}=\frac{\partial}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial}{\partial z}\vec{k}\]

梯度

标量函数\(f=f(x,y,z)\)的梯度，输入为标量、输出为矢量：

\[\vec{\nabla}f=\frac{\partial f}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{k}\]

设\(\vec{\nabla}f\)和\(d\vec{l}\)之间的夹角为\(\theta\)，则

\[df=|\vec{\nabla}f||d\vec{l}|\cos\theta,\quad|\vec{\nabla}f|=\frac{df_{max}}{|d\vec{l}|}\]

即梯度是导数下降最快的方向。

散度

矢量函数\(f=(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z))\)的散度，输入为矢量、输出为标量：

\[\vec{\nabla}\cdot \vec{f}=P_x'+Q_y'+R_z'\]

散度表示单位立方体中矢量场线的净流出量（假象立方体，\(P_x'\)表示 x 方向相对的两个面的净流出量，etc.）。散度大于零，表示源；散度小于零，表示汇；散度等于零，表示无源。

散度定理（高斯定理）：

\[\oint_{\tau}\vec{A}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\int_{\tau}(\vec{\nabla}\cdot\vec{A})\mathrm{d}\tau\]

证明

待补充。

旋度

矢量函数\(f=(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z))\)的旋度，输入为矢量、输出为矢量：

\[ \begin{align*} \vec{\nabla}\times \vec{f}&=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} \\ &= \left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}\right)\vec{i} + \left(\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}\right)\vec{j} + \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\vec{k} \end{align*} \]

旋度的几何含义

什么是"有旋"？

首先理解"旋"的概念： - 有旋：矢量场有"环绕"或"涡旋"的性质，就像漩涡中的水流 - 无旋：矢量场没有环绕性质，就像平行直流的水流 - 旋度：衡量矢量场在某点附近的"旋转强度"

旋度的物理本质

旋度实际上衡量的是：单位面积内矢量场的环流强度

数学推导：为什么旋度表示旋转强度

让我详细解释旋度公式中z分量的含义：

z分量：

\(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\)

想象在xy平面上有一个小矩形，边长为\(\Delta x\)和\(\Delta y\)：

1. 沿着矩形边界的环流

沿矩形边界逆时针方向计算环流： - 底边：从\((x, y)\)到\((x+\Delta x, y)\)，贡献\(P(x,y) \cdot \Delta x\) - 右边：从\((x+\Delta x, y)\)到\((x+\Delta x, y+\Delta y)\)，贡献\(Q(x+\Delta x,y) \cdot \Delta y\) - 顶边：从\((x+\Delta x, y+\Delta y)\)到\((x, y+\Delta y)\)，贡献\(-P(x,y+\Delta y) \cdot \Delta x\) - 左边：从\((x, y+\Delta y)\)到\((x, y)\)，贡献\(-Q(x,y) \cdot \Delta y\)

2. 总环流

\[\Gamma = P(x,y)\Delta x + Q(x+\Delta x,y)\Delta y - P(x,y+\Delta y)\Delta x - Q(x,y)\Delta y\]

3. 利用泰勒展开

\(Q(x+\Delta x,y) \approx Q(x,y) + \frac{\partial Q}{\partial x}\Delta x\)
\(P(x,y+\Delta y) \approx P(x,y) + \frac{\partial P}{\partial y}\Delta y\)

代入得：

\[ \Gamma \approx \frac{\partial Q}{\partial x}\Delta x \Delta y - \frac{\partial P}{\partial y}\Delta x \Delta y = \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\Delta x \Delta y\]

4. 单位面积的环流（旋度的z分量）

\[(\vec{\nabla}\times \vec{f})_z = \frac{\Gamma}{\Delta x \Delta y} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\]

为什么旋度不为零表示有旋？

核心理解：旋度衡量的是环流密度

旋度 ≠ 0：净环流 ≠ 0 → 存在旋转趋势 → 有旋
旋度 = 0：净环流 = 0 → 无旋转趋势 → 无旋

具体例子

例子1：纯旋转场（有旋）

\[\vec{f} = (-y, x, 0)\]

计算z分量：

\[(\vec{\nabla}\times \vec{f})_z = \frac{\partial x}{\partial x} - \frac{\partial(-y)}{\partial y} = 1 - (-1) = 2\]

这表示绕z轴逆时针旋转，旋度不为零，所以有旋。

例子2：径向场（无旋）

\[\vec{f} = (x, y, 0)\]

计算z分量：

\[(\vec{\nabla}\times \vec{f})_z = \frac{\partial y}{\partial x} - \frac{\partial x}{\partial y} = 0 - 0 = 0\]

这是从原点向外发散的场，虽然不是平行流，但没有旋转，所以无旋。

例子3：剪切流（有旋）

\[\vec{f} = (y, 0, 0)\]

计算z分量：

\[(\vec{\nabla}\times \vec{f})_z = \frac{\partial 0}{\partial x} - \frac{\partial y}{\partial y} = 0 - 1 = -1\]

旋度定理（斯托克斯定理）：

\[\oint_C\vec{A}\cdot\mathrm{d}\vec{l}=\int_S(\vec{\nabla}\times\vec{A})\cdot\mathrm{d}\vec{S}\]

证明

待补充。

拉普拉斯算子

标量函数\(f=f(x,y,z)\)作用给拉普拉斯算子：

\[ \begin{align*} \Delta f&=\nabla\cdot\nabla f \\ &=(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z})\cdot(f_x',f_y',f_z') \\ &=f_{xx}''+f_{yy}''+f_{zz}'' \end{align*} \]

微分方程

y'+ay=0

将 \(y'\) 化为 \(\mathrm{d}y/\mathrm{d}x\)，分离变量，通解为：

\[y=Ce^{-ax}\]

y''+ay=0

令 \(a=\omega^2\)，通解为 \(y=C_1\sin(\omega x)+C_2\cos(\omega x)\).

ay''+by'+cy=0

令 \(\Delta =b^2-4ac\)，通解为：

\(\Delta >0,\, \lambda_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)，则 \(y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}\)；
\(\Delta=0,\, \lambda=-\frac{b}{2a}\)，则 \(y=(C_1+C_2x)e^{\lambda x}\)；
\(\Delta <0,\, \lambda_{1,2}=\alpha\pm i\beta\)，则 \(y=e^{\alpha x}(C_1\sin(\beta x)+C_2\cos(\beta x))\).

特解

当微分方程等式右边非零时，需要化为通解+特解的形式。

非齐次项 \(g(x)\) 的形式	应猜测的特解 \(y_p(x)\)	备注
常数 \(C\)	\(A\)	\(A\) 为常数
多项式：\(a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n\)	\(A_0 + A_1 x + \cdots + A_n x^n\)	同阶多项式
\(e^{kx}\)	\(A e^{kx}\)	若 \(k\) 为特征根，需乘 \(x\)
多项式 × \(e^{kx}\)	(多项式) × \(e^{kx}\)	同上，若共振需乘 \(x\)
\(\sin(\omega x)\), \(\cos(\omega x\))	\(A \sin(\omega x) + B \cos(\omega x)\)	一对一起猜
\(e^{kx} \sin(\omega x), e^{kx} \cos(\omega x)\)	\(e^{kx} (A \sin(\omega x) + B \cos(\omega x))\)	振荡指数型
多项式 × \(\sin(\omega x)\) 或 \(\cos(\omega x)\)	多项式 × \((A \sin(\omega x) + B\cos(\omega x))\)	同阶多项式

英语！

基本物理量与场

English Term	中文翻译
electric field	电场
magnetic field	磁场
electric flux	电通量
magnetic flux	磁通量
electric potential	电势
potential difference	电势差
permittivity	介电常数、介电率
relative permittivity	相对介电常数
permeability	磁导率
relative permeability	相对磁导率
conductivity	电导率
charge density	电荷密度
current density	电流密度
displacement current	位移电流
polarization	极化
magnetization	磁化

麦克斯韦方程组相关

English Term	中文翻译
Gauss's law (electric)	电场高斯定律
Gauss's law (magnetic)	磁场高斯定律
Faraday's law	法拉第电磁感应定律
Ampère's law	安培环路定律
Maxwell's equations	麦克斯韦方程组
integral form	积分形式
differential form	微分形式
boundary conditions	边界条件
tangential component	切向分量
normal component	法向分量
continuity condition	连续性条件

材料与介质

English Term	中文翻译
dielectric	电介质
conductor	导体
insulator	绝缘体
perfect conductor	理想导体
perfect dielectric	理想电介质
ferromagnetic material	铁磁材料
paramagnetic material	顺磁材料
diamagnetic material	抗磁材料

波与传播

English Term	中文翻译
electromagnetic wave	电磁波
wave equation	波动方程
plane wave	平面波
transverse wave	横波
phase velocity	相速度
group velocity	群速度
wavelength	波长
frequency	频率
reflection	反射
refraction	折射
transmission	透射
Snell's law	斯涅尔定律

能量与功率

English Term	中文翻译
Poynting vector	波印廷矢量
electromagnetic energy	电磁能
power flow	功率流
energy density	能量密度

电路与相关概念

English Term	中文翻译
capacitance	电容
inductance	电感
impedance	阻抗
reactance	电抗
resistance	电阻
resonant frequency	共振频率

常见符号

Symbol	English Term	中文翻译
E	electric field	电场强度
D	electric displacement	电位移
B	magnetic flux density	磁感应强度
H	magnetic field strength	磁场强度
ρ	charge density	电荷密度
J	current density	电流密度
ε	permittivity	介电常数
μ	permeability	磁导率
σ	conductivity	电导率