库伦定律，高斯定律

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库仑定律

电偶极子

电偶极子电偶极距为 d，所求点距几何中心距离为 r，夹角为\(\phi\)，则电场：

\[\vec{E_p}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\left[-\vec{p}+\frac{3\vec{r}(\vec{r}\cdot\vec{p})}{r^2}\right]\]

证明

有限长带电直导线

导线长 2L，带电量 q，所求点距离导线中心距离为 z，在同一水平面上，则电场：

\[\vec{E}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{z\sqrt{z^2+L^2}}\hat{k}\]

证明

有限大带电平面

平面长 2L，宽 2b，所求点和几何中心在同一竖直面内，距离平面距离为 z（z << L），则电场：

\[\vec{E}=\frac{\sigma}{\pi\varepsilon_0}\cdot\arctan(\frac{b}{z})\hat{k}\]

证明

圆环、球壳、球体

圆环：按角度分成一段段圆弧

均匀带电球壳：纵向分成圆环，每个圆环的宽度按纵切面角度划分，最终为关于角度的积分。

\[\mathrm{d}q=2\pi R\sin\theta\text{(圆环周长)}\cdot R\mathrm{d}\theta\text{(圆环宽度)}\cdot\sigma\text{(电荷面密度)}\]

球壳内：对任意一点，取相对的两块球面，用立体角计算面积。相对球面在该点的电场强度抵消。

均匀带电球体：球外平方反比，球内正比。

几点注意

几种倍率：

前缀	符号	倍数	数值表示
femto	f	\(10^{-15}\)	\(1 \, \text{fC} = 10^{-15} \, \text{C}\)
micro	\(\mu\)	\(10^{-6}\)	\(1 \, \mu\text{C} = 10^{-6} \, \text{C}\)
milli	m	\(10^{-3}\)	\(1 \, \text{mA} = 10^{-3} \, \text{A}\)
centi	c	\(10^{-2}\)	\(1 \, \text{cm} = 10^{-2} \, \text{m}\)
deci	d	\(10^{-1}\)	\(1 \, \text{dm} = 10^{-1} \, \text{m}\)
kilo	k	\(10^{3}\)	\(1 \, \text{kJ} = 10^{3} \, \text{J}\)
mega	M	\(10^{6}\)	\(1 \, \text{MG} = 10^{6} \, \text{g}\)
giga	G	\(10^{9}\)	\(1 \, \text{GB} = 10^{9} \, \text{B}\)
tera	T	\(10^{12}\)	\(1 \, \text{TB} = 10^{12} \, \text{B}\)

相对运动下观察电场和磁场？

假设一无限长直导线，电荷以恒定速度 v 向右运动。

case1：人静止。此时电荷产生电场，运动的电荷产生磁场。

case2：人也以恒定速度 v 向右运动，此时电荷和人相对静止，在该参考系中磁场为零。

case2 中观察者速度为\(v\)，根据相对论长度缩短，观察到的电荷密度为\(\lambda'=\gamma\lambda\)，其中\(\gamma=\frac{1}{\sqrt{1+v^2 / c^2}}\)为洛伦兹因子、\(\lambda\)为 case1 中的电荷密度。由于 case2 中电荷密度更大，电场更强，“补偿”了磁场的消失。

这个例子说明了电场和磁场是同一物理实体在不同参考系中的表现。

运动电荷不满足库伦定律？

库伦定律的适用范围

库伦定律：

\[\vec{F} = k\frac{q_1 q_2}{r^2}\hat{r}\]

仅适用于静止电荷之间的相互作用。当电荷运动时，情况变得复杂得多。

为什么运动电荷不满足库伦定律？

1. 磁场的产生

运动电荷会产生磁场：

\[\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q\vec{v}\times\hat{r}}{r^2}\]

这个磁场会对其他运动电荷产生洛伦兹力：

\[\vec{F}_{magnetic} = q\vec{v}\times\vec{B}\]

1. 电场的变化

运动电荷的电场不再是简单的库伦场，而是：

\[\vec{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\frac{(1-\beta^2)}{(1-\beta^2\sin^2\theta)^{3/2}}\hat{r}\]

其中 \(\beta = v/c\)，\(\theta\) 是速度方向与位置矢量的夹角。

1. 相对论效应

高速运动时，还需要考虑： - 长度收缩 - 时间膨胀 - 质量-能量等效

考虑一个静止电荷和一个运动电荷。前者对后者的力满足库伦定律，而后者对前者的力不满足库伦定律。此时牛顿第三定律不成立！

高斯定理

高斯定理表述

高斯定理：封闭曲面的电通量正比于曲面围成区域内的电荷总量。

\[\iint\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\frac{Q_{in}}{\varepsilon_0}\]

空间角：

\[\mathrm{d}\Omega=\frac{\hat{r}\cdot \mathrm{d}\vec{S}}{r^2}\]

其中 \(\hat{r}\) 为单位径矢，分子中 \(\hat{r}\cdot \mathrm{d}\vec{S}\) 将面元转化为与径矢垂直。

电通量正负：取曲面的外法向向量。电场线穿出曲面，电通量为正；穿入曲面，电通量为负。

高斯面外的电荷对总通量没有贡献，但不是对总场强没有贡献。总场强由空间内所有电荷共同构成。

电场方向：

高斯定理只能得到电场大小。要判断电场方向，需要结合旋转不变性、镜像反射不变性等性质。

任意一点电场 \(E\) 可以分为轴矢量 \(E_r\)，极矢量 \(E_{\phi}\)、\(E_{\theta}\) 三个分量。

• 球对称：

点电荷高斯定理

任意封闭曲面一点电荷，计算电通量：

\[\mathrm{d}\Phi=\vec{E}\cdot \mathrm{d}\vec{A}=\frac{\mathrm{d}q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\cdot r^2\Omega=\frac{\mathrm{d}q}{4\pi\varepsilon_0 }\Omega\]

其中\(r^2\Omega\)将曲面转化为正投影。

\[\Phi=\oint\mathrm{d}\Omega=\frac{q}{\varepsilon_0}\]

同理可得对点电荷外的封闭曲面，同一空间角内的两块区域通量和为零，故整体的通量为零。

高斯面能不能通过点电荷？

当点电荷在高斯面上，怎么计算？

这种情况没有意义，因为点电荷的定义决定不考虑它的大小、形状，也不考虑点电荷“被穿过”的情形。

高斯定理和斯托克斯定理

高斯定理：

假设封闭曲面 S，围成体积 V。 则 S 的通量，即矢量对 S 的面积分，等于散度对 V 的体积分。 通量为正，表示源；通量为负，表示汇。

对于电场：

对于任意的小立方体（dx, dy, dz），有

通量 = 总电荷量/介电常数 = 电荷密度/介电常数 * 体积 通量 = 散度 * 体积

因此对每个小立方体，散度 = 电荷密度/介电常数

\[ \begin{align} \vec{\nabla}\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0} \end{align} \]

而任意封闭曲面围成的体积，可看作无数个小立方体的集合。通量等于散度的体积分，而每个散度用“电荷密度/介电常数”替换，得到任意体积满足(1)式。

斯托克斯定理：

假设封闭曲线为 l，围成曲面 S。 则 l 的环流，即矢量对 l 的线积分，等于旋度对 S 的面积分。 环流为正，表示逆时针；环流为负，表示顺时针；环流为零，表示无旋。

静电场是无旋场：

\[\vec{\nabla}\times\vec{E}=0\]

常见电场强度

电荷分布	高斯面选择	电场强度表达式	说明
无限长直导线（线电荷密度）	圆柱形高斯面（以导线为轴心）	\(E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}\)	其中 \(\lambda\) 为线电荷密度，\(r\) 为到导线的径向距离
无限大平板（面电荷密度）	平行于平板的高斯面（与平板平行）	\(E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}\)	其中 \(\sigma\) 为面电荷密度，电场强度在平板两侧相等，且与距离无关
球壳（外部，面电荷密度）	球形高斯面（半径大于球壳半径）	\(E = \frac{Q_{\text{enc}}}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}\)	\(Q_{\text{enc}}\) 是球壳内部的总电荷，\(r\) 是距离球心的径向距离
球壳（内部，面电荷密度）	球形高斯面（半径小于球壳半径）	\(E = 0\)	由于对称性，球壳内部的电场为零
均匀带电球体（外部，体电荷密度）	球形高斯面（半径大于球体半径）	\(E = \frac{Q_{\text{enc}}}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}\)	外部电场与点电荷相同，遵循平方反比定律
均匀带电球体（内部，体电荷密度）	球形高斯面（半径小于球体半径）	\(E = \frac{\rho r}{3 \varepsilon_0}\)	其中 \(\rho\) 为体电荷密度，电场强度随 \(r\) 增大而增大

几点注意：

• 含\(\mathrm{d}r/\sqrt{r^2+z^2}\)的积分：令\(r=z\tan\theta\)，则\(\mathrm{d}r=z\sec ^2\theta\mathrm{d}\theta\)，\(r^2+z^2=z^2\sec ^2\theta\)
• 均匀球壳外：按角度\(\theta\)分割为圆环，\(\mathrm{d}q=2\pi R\sin\theta\cdot R\mathrm{d}\theta\cdot \sigma\)
• 球壳内电场：空间角相对两块，法向量夹角相等，电荷与距离平方成正比，电场和为零
• 在有限长的导体取电荷元
• 有厚度的带电平板，求空间内电场：区分平板内、外！