电容，电介质

阅读信息

1615 字  8 分钟  本页总访问量 加载中...

电容

电容定义

电容 \(C\)：

\[ C = \frac{Q}{V} \]

其中 \(Q\) 为一个极板电荷量，\(V\) 为两极板间电势差。

电容器：若导体 A（假设带正电）旁边放一个净电荷为零的导体 B，由于感应，B 中负电荷离 A 更近，A 的电势下降，而 A 带电量不变，故电容增加。

常见电容

类型	结构示意	电容表达式	说明
平行板电容器	两个面积为 (A)、间距为 (d) 的平行金属板	\( C = \dfrac{\varepsilon_0 \varepsilon_r A}{d} \)	最常见类型；若为真空，\(\varepsilon_r = 1\)
圆柱形电容器	两个同轴圆柱导体，长度 (L)，半径 (a,b) ((b>a))	\( C = \dfrac{2\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r L}{\ln(b/a)} \)	用于同轴电缆结构
球形电容器	两个同心球壳，半径 (a,b) ((b>a))	\( C = 4\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r \dfrac{ab}{b-a} \)	常用于理论计算
孤立导体球	半径为 (R) 的单独球体	\( C = 4\pi \varepsilon_0 R \)	可视为外球壳在无穷远处的球形电容器
多层平行板电容器并联	(n) 个极板，间距均为 (d)，面积 (A)	\( C\_{\text{总}} = (n-1)\dfrac{\varepsilon_0 \varepsilon_r A}{d} \)	相当于 (n-1) 个电容并联
同轴电缆（单位长度）	内外导体半径 (a,b)	\( C' = \dfrac{2\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r}{\ln(b/a)} \)	电缆每单位长度的电容
平行导线（单位长度）	导线半径 ®，间距 (D)	\( C' = \dfrac{\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r}{\ln(D/r)} \)	高压输电线常用近似

备注 相对介电常数

\(\varepsilon_r\) 是相对介电常数（relative permittivity，也常叫 dielectric constant，中文：相对介电常数/介电常数比）。它表示某种介质相对于真空能被电极化的“强弱”。形式上：

\[ \varepsilon = \varepsilon_r,\varepsilon_0 \]

其中 \(\varepsilon\) 是介质的介电常数，\(\varepsilon_0\) 是真空介电常数（约 \(8.854\times10^{-12}\ \mathrm{F/m}\)）。\(\varepsilon_r\) 无量纲。

物理上表示什么？

• 导体板间放入介质，会被电场极化（分子/原子电偶极矩取向或位移），在极板表面产生束缚电荷，削弱板间场强，等效增加电容。
• 放入介质后的电容：\(C=\varepsilon A/d=\varepsilon_r\varepsilon_0 A/d\)。所以电容提高了 \(\varepsilon_r\) 倍。

注：

• 孤立导体球可视为外球半径 \(b \to \infty\) 的同心球电容器特例。
• 所有公式均假设极板/导体间为真空；若填充相对介电常数为 \(\kappa\) 的电介质，只需将 \(\varepsilon_0 \to \kappa\varepsilon_0\)。
• 同轴圆柱公式适用于“长圆筒近似”，边缘效应忽略。

电容器串并联

串联：

\[ \frac{1}{C_{\text{eq}}} = \sum \frac{1}{C_i} \]

并联：

\[ C_{\text{eq}} = \sum C_i \]

• 电容器串联，提高耐压；电容器并联，提高电容。
• 串联电容的电量相等，并联电容的电压相等。

对于两个无限大的平行平面带电导体板来说：

• 相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反
• 相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同

电容器储能

电容器中储存的电势能为：

\[W=\frac{1}{2}CU^2=\frac{Q^2}{2C}\]

esp. 平行板电容器：

\[W=\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 \Omega\]

其中 \(\Omega\) 表示电容器的体积。

定义能量密度 \(u\)，表示单位体积内电场储存的能量，其表达式为：

\[u=\frac{U}{\Omega}=\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2\]

由于电势能是能量密度对体积的积分，可以通过 \(u\) 计算任意电场分布的总电势能。
每一点的电场 -> 每一点的能量密度 -> 积分得到电势能

或可用能量密度计算外力做功：\(W=u\cdot \Delta\Omega\)（或积分）

电场的唯一性定理

若干导体存在时，在给定条件下，空间的电场分布和电荷分布唯一确定。

1. 给定每个导体上的电量
2. 给定每个导体的电势
3. 给定一些导体上的电量，以及另外导体的电势

（略）

电介质

极性分子

材料分子分为无极分子和有极分子。
无极分子正负中心重合，电场中发生位移极化（正负中心分离，体现出极性）；有极分子正负中心不重合，无电场时分布杂乱，有电场时发生取向极化。

极化强度 \(\vec{P}\) 表示电偶极矩的体密度，定义：

\[\vec{p}=\lim_{\Delta V\to 0}\frac{\iiint_{\Delta V}\mathrm{d}\vec{p}}{\Delta V}\]

也能将极化强度表示为电偶极矩乘数密度：

\[\vec{P}=n\vec{p}\]

极化电效应

绝缘体只能削弱电场，不能完全抵消。记外电场为 \(E_f\)，极化电场为 \(E_p\)，总场强为 \(E\)。

均匀、各向同性的介质中，极化强度与总电场成正比：

\[\vec{P}=\varepsilon_0 \chi\vec{E}\]

其中 \(\chi\) 为极化率，和材料本身有关。

极化强度的通量等于表面电荷密度的总量（如果认为电荷只分布在表面上，内部没有自由电荷，则右边为曲面包围的电荷）：

\[ \begin{align*} \iint_S \vec{P}\mathrm{d}\vec{S}&=\iint_S nq\vec{l}\cdot\mathrm{d}\vec{S} \\ &=\iint_S nq\vec{l}\mathrm{d}V \\ &=-q_{in} \end{align*} \]

微分形式：极化强度的散度是该点电荷体密度的负值：

\[\nabla\cdot\vec{P}=-\rho_P\]

如果认为电荷只分布在表面上，则体密度为面密度，任意闭合曲面极化强度的和为零。且有电荷面密度等于极化强度的法向分量：

\[\sigma_P=\vec{P}\cdot\hat{n}=P_n\]

极化强度只包含表面的极化电荷，而电场高斯定理包含曲面内所有电荷，即极化电荷和自由电荷之和。两者相加可得到绝缘体内部的自由电荷：

\[\iint(\varepsilon_0\vec{E}+\vec{P})\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\sum q_{free}\]

说明研究 \(\varepsilon_0\vec{E}+\vec{P}\) 这个量可以不考虑极化电荷的影响。将其定义为电位移 \(\vec{D}\)，其中的 \(E\) 为总电场，而不是极化电场或外部电场。电位移的通量等于曲面内自由电荷的总量。

电位移并没有实际意义，可以只将其理解为一种代数变形。

又因为 \(\vec{p}=\varepsilon_0 \chi\vec{E}\)，代入得：

\[\iint(\varepsilon_0 (1+\chi)\vec{E})\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\sum q_{f}\]

将 \(1+\chi\) 定义为相对介电常数 \(\varepsilon_r\)，将 \(\varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r\) 定义为绝对介电常数。

故电位移等于绝对介电常数乘电场强度 \(\vec{D}=\varepsilon_0\varepsilon_r\vec{E}\)。

实际中，由于边缘效应，边缘的电场有切向的分量，使得插入的电介质会受到向里的力。

对某些材料，去掉外场后电偶极矩矢量和不恢复为零，而是需要加反向的电场才能变为零。这种材料被成为铁电材料。
示例：压电陶瓷，用于超声发生器、扫描隧道显微镜、加湿器等。

界面连续性

假设有两种相对介电常数不同的电介质，考虑界面部分。假设法向量为从 \(\varepsilon_{r1}\) 指向 \(\varepsilon_{r2}\)，两种电介质在界面上的电荷面密度分别为 \(\sigma_{p1}\) 和 \(\sigma_{p2}\)。

总电荷面密度：

\[\sigma_P=\sigma_{p1}+\sigma_{p2}\]

对每种电介质，面密度等于极化强度的法向分量：

\[ \sigma_{p1}=P_{1n} \\ \sigma_{p2}=P_{2n} \]

故极化强度法向分量的变化等于电荷面密度：

\[\sigma_P=P_{1n}-P_{2n}\]

电介质的高斯定理，得到电位移法向分量的变化量等于自由电荷面密度：

\[D_{2n}-D_{1n}=\sigma_f\]

当界面上没有自由电荷时，电位移在法向上连续。

利用静电场的环路定理，在界面处取高度很小的环路，可得到总电场的切向分量相等（在任意条件下成立）。

类似光学折射：

\[\frac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2}=\frac{E_{1t}/E_{1n}}{E_{2t}/E_{2n}}=\frac{E_{2n}}{E_{1n}}=\frac{\varepsilon_{r1}}{\varepsilon_{r2}}\]