欧姆定律，电路
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电流
电流密度
电流密度 \(\vec{j}\) 用于描述空间中任一点的电流强度，定义为：
\[\vec{j}=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t\mathrm{d}S_{\perp}}=\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}S_{\perp}}\]
通过封闭曲面的电流密度的通量，等于曲面内电荷变化量的负值（因为流出的通量为正）：
\[\oint_S\vec{j}\mathrm{d}\vec{S}=-\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}\]
对于稳恒电流（stationary current），电流密度的通量始终为零。电流密度线为闭合曲线。
漂移速度
外加电场后，电荷仍做无规则运动，但相比无电场时有沿电场方向的偏移。称偏移的速度为漂移速度 \(v_d\)，用漂移速度表示电荷运动的速度。
电流强度与漂移速度成正比（n 表示电荷的数密度）：
\[
\begin{align*}
I&=\frac{\Delta q}{\Delta t}=\frac{v_d\Delta t\Delta S\cdot n\cdot e}{\Delta t}=env_d\Delta S \\
j&=\frac{I}{\Delta S}=env_d
\end{align*}
\]
若载流子为电子，则电流密度与漂移速度方向相反，\(\vec{j}=-en\vec{v_d}\)。
欧姆定律的微观形式
考虑一小段圆柱，电势差为 \(\mathrm{d}u\)，截面积为 \(\mathrm{d}s\)。根据宏观欧姆定律，有：
\[\mathrm{d}I=\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}R}\]
将电流密度、电阻的表达式代入，得：
\[j\mathrm{d}S=\frac{1}{\rho}\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}l}\mathrm{d}S\]
将电场强度等于电势差比长度代入，得：
\[J=\frac{1}{\rho}E=\sigma E\]
即欧姆定律的微观形式。其中 \(\rho\) 为电阻率，\(\sigma\) 为电导率。
满足 \(\vec{j}=\sigma\vec{E}\) 的材料称为欧姆材料。
非欧姆材料有半导体。N 型半导体掺杂磷，多一个最外层电子；P 型半导体掺杂氮，少一个最外层电子。
电导率的微观表达
电荷速度：
\[
v_i = v_{0i} + \frac{eE}{m} t_i
\]
电流强度：
\[
J = \sum e v_i = \sum e v_{0i} + \sum e \cdot \frac{eE}{m} t_i = \sum \frac{e^2 E}{m} t_i
\]
定义平均碰撞时间 $ \tau = \frac{\sum t_i}{n} $，则
\[
J = \frac{n e^2 \tau}{m} E
\]
则电导率的微观表达：
\[
\sigma = \frac{1}{\rho} = \frac{n e^2 \tau}{m}, \quad \sigma \text{ 和 } \tau \text{ 有关}.
\]
$ v_d \ll v $，认为 $ \tau $ 只与材料有关，不受电场影响。
用麦克斯韦速度分布律得到平均碰撞时间：
\[
\tau = \frac{\lambda}{v} = \lambda \sqrt{\frac{2\pi m}{8kT}} \propto \frac{1}{\sqrt{T}}
\]
故
\[
\sigma \propto \frac{1}{\sqrt{T}}, \quad \rho \propto \sqrt{T}.
\]
几点注意
稳恒电流一般用大写I表示，瞬时电流一般用小写i表示。
电路
基尔霍夫定律
电动势等于将单位正电荷从负极移动到正极所做的功。
基尔霍夫第一定律（Junction Rule）：电流标量相加。
基尔霍夫第二定律（Loop Rule）：回路电势差为零，\(\sum\mathcal{E}_n+\sum iR_n=0\)
求解电路中电流：设电流 → 列方程组 → 矩阵计算（或手工解方程组）
电场、能量分布
根据高斯定律（积分形式）：
\[
\oint_S \vec{J} \cdot d\vec{S} = \oint_S \sigma \vec{E} \cdot d\vec{S} = 0 \quad \Rightarrow \quad \Sigma q = 0
\]
即导体内部处处净电荷为零。导体内的电场并非由内部电荷产生，而是来源于表面少量电荷的分布。
电源内部对电荷做功：
\[
dW = \mathcal{E} \, dq
\]
电源功率：
\[
P_{\text{EMF}} = \frac{dW}{dt} = \mathcal{E} \cdot \frac{dq}{dt} = \mathcal{E} I
\]
电阻两端电势差：
\[
\Delta U_R = IR
\]
当电荷 $ dq $ 流过电阻时，电势能变化（转化为热能）：
\[
dW = dq \cdot \Delta U_R = I R \, dq
\]
电阻消耗的功率：
\[
P_R = \frac{dW}{dt} = I R \cdot \frac{dq}{dt} = I^2 R
\]
RC 电路
根据基尔霍夫电压定律：
\[
\varepsilon - \frac{q}{C} - i R = 0 \\[0.5em]
\Rightarrow \varepsilon - \frac{q}{C} - R \cdot \frac{dq}{dt} = 0 \\[0.5em]
\Rightarrow \frac{dt}{RC} = \frac{dq}{C\varepsilon - q}
\]
积分求解得电荷随时间变化关系：
\[
q(t) = C\varepsilon \left(1 - e^{-\frac{t}{RC}}\right)
\]
\(i = -\frac{dq}{dt}\)，因为电荷减少。
\[
\frac{q}{C} - i R = 0 \Rightarrow q(t) = q_0 \, e^{-\frac{t}{RC}}
\]
电荷随时间衰减通式：
\[
\tau = RC \Rightarrow q = q_0 \, e^{-\frac{t}{\tau}}
\]
两电容器间充放电
初始时一个电容带电量 \(q_0\)，另一个不带电；通过电阻连接后发生电荷重分配。
根据基尔霍夫电压定律和电荷守恒：
\[
\left\{
\begin{aligned}
\frac{q}{C} - i R - \frac{q'}{C} &= 0 \\[0.5em]
q + q' &= q_0
\end{aligned}
\right.
\]
当系统达到稳态时，\(t \to \infty\)，电流为零，两电容电压相等：
\[
q = q' = \frac{q_0}{2}
\]
在过程中，电阻上消耗的能量微元：
\[
dW_R = dq \cdot \Delta U_R = i R \, dq = i R \cdot \frac{dq}{dt} \, dt
\]
对时间积分得总耗能：
\[
W_R = \int_0^{+\infty} i^2 R \, dt = \frac{1}{4} \cdot \frac{q_0^2}{C}
\]
初始电容储能为 \(\frac{1}{2} \frac{q_0^2}{C}\)，最终两个电容各存 \(\frac{1}{2} \frac{(q_0/2)^2}{C} = \frac{1}{8} \frac{q_0^2}{C}\)，总储能为 \(\frac{1}{4} \frac{q_0^2}{C}\)，损失的一半能量即为电阻上以热能形式耗散的部分。