电磁感应，电感
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电磁感应
感生电动势
定义磁通量 \(\Phi_B\)：
感生电动势等于磁通量的变化率：
楞次定律：感应电流的方向阻止磁通量的变化，即上面公式中负号。
电磁感应的本质是能量守恒。
动生电动势
洛伦兹力 \(\vec{F_B}=-e(\vec{v}\times\vec{B})\)，电场 \(\vec{E}=\frac{\vec{F_B}}{-e}=\vec{v}\times\vec{B}\)，由电场得到动生电动势：
洛伦兹力不做功，这里洛伦兹力方向仍与叠加后速度垂直。
感生电场
磁场变化产生涡旋电场，使导体中电子定向运动，产生电动势。
需要对麦克斯韦方程组修正：
电感
定义自感系数 \(L\)，单位为 \(\mathrm{H}\)：
电动势与电感的关系：
LR 电路
充电时，回路总电势差为零，即 \(\mathcal{E}-iR-L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}=0\)，化简得到 \(i=\frac{\mathcal{E}}{R}(1-e^{-\frac{t}{\tau}})\)，其中 \(\tau\) 表示 \(\frac{L}{R}\)。
同理，放电时，\(i=\frac{\mathcal{E}}{R}e^{-\frac{t}{\tau}}\)。
自感磁能
电流从 0 增大到 \(i\) 时，电感中能量为
能量密度 \(u_B=\frac{U_B}{V}\)。
互感
线圈 1 对线圈 2 产生的磁通量正比于线圈 1 的电流，比例稀疏记为 \(M_{12}\)，同理定义 \(M_{21}\)。
可证明 \(M_{12}=M_{21}=M\)，记为互感系数。
互感系数与自感系数的关系：
若 k=1 表示同轴，若 k=0 表示垂直，若 0 < k < 1 表示部分漏磁。
互感磁能
两个线圈的系统中，除了各自存储自感磁能，电源还要抵抗互感电动势作功，形成互感磁能，大小为：
在 k 个线圈的系统中，总能量等于自感磁能之和加互感磁能之和：
LC 电路
回路总电势差为零建立等式 \(-L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}=\frac{q}{C}\)，得到二阶微分方程，解为 \(q=q_0\cos(\omega t+\phi)\)，其中 \(\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}\)。
能量在电容和电感间相互转化，两者能量之和为定值。
RCL 电路
建立等式 \(-L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}+\frac{q}{C}+iR=0\)。
如果外加周期性电源 \(\mathcal{E}=\mathcal{E}_m\cos \omega''t\)，则变为受迫振动。当 \(\omega''=\omega\) 时得到共振，电流峰值最大。
任意时刻下，电路最大储能等于电容或电感可能的储能的峰值。
磁介质
磁化强度 \(\vec{M}\)，表示磁化后的宏观效果：
定义磁场强度 \(H\)：
边界条件
| 物理量 | 法向分量边界条件 | 切向分量边界条件 | 说明 |
|---|---|---|---|
| 电场 \(\vec E\) | \(E_2^\perp-E_1^\perp=\frac{\sigma_{\text{free}}}{\varepsilon_0}\) | \(\vec E_1^\parallel=\vec E_2^\parallel\) | 法拉第定律（无环电压） |
| 电位移 \(\vec D\) | \(D_2^\perp-D_1^\perp=\sigma_{\text{free}}\) | \(\vec D_1^\parallel=\vec D_2^\parallel\) | \(\vec D\) 只对自由电荷敏感 |
| 磁感应强度 \(\vec B\) | \(B_1^\perp=B_2^\perp\) | \(B_2^\parallel-B_1^\parallel=0\) | 无磁单极子 |
| 磁场强度 \(\vec H\) | \(H_1^\perp=H_2^\perp\) | \(\vec H_2^\parallel-\vec H_1^\parallel=\vec K_{\text{free}}\times\hat n\) | 安培环路定律 |