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基本概念

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事件概念

  • 随机试验：对随机现象的试验
  • 样本空间：所有可能结果的集合
  • 样本点：一个结果
  • 随机事件：样本空间的子集
  • 基本事件：只有一个样本点的随机事件
  • 事件发生：结果包含于事件
  • 必然事件：全集
  • 不可能事件：空集

事件运算

  • 和事件：\(A\cup B\)
  • 积事件：\(A\cap B=AB\)
  • 互不相容（互斥）：\(A\cap B=\varnothing\)
  • 逆事件（对立事件）：\(A\cup B=S\,\text{and}\, A\cap B=\varnothing\)
  • 差事件：\(A-B\)

频率与概率基本概念

  • 频数：n 次试验中发生次数
  • 频率：n 次中频数/n 的比值
  • 概率：频率的极限
  • 古典概型：有限个样本点，等概率
  • 条件概率：\(P(A|B)\)表示 B 发生的条件下 A 发生的概率
  • 完备事件组：划分整个样本空间的一组事件
  • 先验概率：贝叶斯公式中\(P(B_j)\)
  • 后验概率：贝叶斯公式中\(P(B_j|A)\)
  • 相互独立：\(P(AB)=P(A)P(B)\)，积事件的概率等于概率的积
  • 独立试验：试验结果互不影响
  • 重复试验：相同条件下的试验

概率有可列可加性，如果有一列两两互不相容的事件 \(A_1, A_2, A_3, \dots\)，那么

\[ P\Bigl(\bigcup*{i=1}^{+\infty} A_i\Bigr) = \sum*{i=1}^{+\infty} P(A_i). \]

并非所有概率都能直接相加，比如线段上单点的概率都为 0，但整个区间的概率为 1。

基本公式

德摩根律：

\[\overline{\bigcup_{j=1}^n A_j}=\bigcap_{j=1}^n\overline{A_j}\]
\[\overline{\bigcap_{j=1}^n A_j}=\bigcup_{j=1}^n\overline{A_j}\]

差集的概率运算：

\[P(A-B)=P(A)-P(AB)\]

容斥原理：

至少一个事件发生 = 所有奇数个事件发生概率求和 - 所有偶数事件发生概率求和

\[P\left(\bigcup_{j=1}^n A_j\right)=\sum_{j=1}^n P(A_j)-\sum_{i<j}P(A_i A_j)+\sum_{i<j<k}P(A_i A_j A_k)-\cdots +(-1)^{n-1}P(A_1 A_2\cdots A_n)\]

条件概率乘法：

\[P(AB)=P(A)P(A|B)=P(B)P(B|A)\]

全概率公式：

\(B_1,B_2\cdots B_n\)是整个样本空间的划分，则

\[P(A)=\sum_{j=1}^n P(B_j)P(A|B_j)\]

贝叶斯公式：

\(B_1,B_2\cdots B_n\)是整个样本空间的划分，则

\[P(B_k|A)=\frac{P(B_k A)}{P(A)}=\frac{P(B_k)P(A|B_k)}{\displaystyle \sum_{j=1}^n P(B_j)P(A|B_j)}\]

其他：

\[P(AB\cup BC\cup AC)=P(AB)+P(BC)+P(AC)-2P(ABC)\]

几道例题

例题 1 错排问题概率

n 卡片随机排列，A=“至少一张卡片的序号和位置不一样”。当 n 趋向于无穷时，求 P（A）？

设 Ai=“第 i 张卡片的序号和位置不一样”

\[ \begin{align} P(A)&=P(A_1\cup\cdots A_n) \\ &=\sum P(A_i)-\sum P(A_i A_j)+\cdots +(-1)^{n-1}P(A_1\cdots A_n) \\ &=C_n^1 P(A_1)-C_n^2 P(A_1 A_2)+\cdots +(-1)^{n-1}P(A_1\cdots A_n) \end{align} \]

（2）是因为容斥原理，（3）是因为每个 Ai 等价。

又因为

\[C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}\, , \, P(A_1\cdots A_k)=\frac{(n-k)!}{n!}\]

有

\[P(A)=1-\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}-\cdots\,\to 1-\frac{1}{e}\]

例题 2 取牌问题

52 张牌取 13 张

（1）A=“恰好 2 张红桃，3 张方块”

每种取牌结果等可能。

\[P(A)=\frac{C_{13}^2 C_{13}^3 C_{26}^8}{C_{52}^{13}}\]

（2）B=“取的 13 张中至少 2 张红桃”

从反面求解，反面为 0 张、1 张红桃。

\[P(B)=1-\frac{C_{13}^0 C_{39}^{13}}{C_{52}^{13}}-\frac{C_{13}^1 C_{39}^{12}}{C_{52}^{13}}\]

另一种想法？

先保证 2 张红桃，其余 11 张从取完两张剩下的 51 张中任意取？

\[P(B)=\frac{C_{13}^2 C_{51}^{11}}{C_{52}^{13}}\]

为什么不对：相同的红桃方案，每次选取的“固定的”红桃不同，导致重复计数。

例题 3 用概率判断条件

某接待站 12 次接待都在周二或周四，能不能认为接待时间有规定？

假设每天等概率，即接待时间没有规定，上述发生的概率为\((\frac{2}{7)^{12}}\)，为小概率事件。

小概率事件发生，说明假设错误。接待时间有规定。

例题 4 抽签问题

a 白球 b 红球，a+b 个人，不放回取球，求第 k 个人取到红球的概率？

将取球看作所有球分配到 a+b 个空位上，每种分配方式等可能，总的可能分配方式为\((a+b)!\)

对于第 k 个人，第 k 位一定为红，有\(a\)种可能；剩余 k-1 位随机，有\((a+b-1)!\)种可能。

\[P(A_k)=\frac{a\cdot(a+b-1)\cdots 1}{(a+b-1)\cdots 1}=\frac{a\cdot(a+b-1)!}{(a+b)!}=\frac{a}{a+b}\]

抽签问题中，抽到的概率与抽签次序无关。

几道例题

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