Lec2 电磁波与狄拉克符号

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电磁波与复数

电磁波的性质：

横波（传播方向与电磁场振动方向垂直）。平面波的表达式。含时间、空间的正弦函数，如果只有时间或空间，则表示另一个量固定。
双折射现象，即水平和垂直方向振动的波向不同方向传播。电矢量可拆成强度、方向向量、随时间振动的正弦函数三部分。电磁波的强度为电矢量强度的平方。用偏振片提取某个方向振动的波，通过偏振片前后光强比为夹角余弦的平方（矢量投影）。
光量子化：发光，Malus Law的量子化解释（如果全部穿过，则要改变光子的能量，即改变频率，不合理；因此只有部分光子通过）

光和复数的对应？椭圆偏振。偏振描述相互垂直的两个方向的相位的差别，可将电矢量沿x和y方向的分量看成复数的实部（？），由此得到复向量。电磁波的振荡可表示为二维复空间。

狄拉克符号

ket \(|a\rangle\)表示矢量，bra \(\langle a|\)表示其共轭。

ket加法，加法交换律，加法结合律。ket乘复数得到新的ket，且满足对ket和复数的分配律。满足上述条件的ket可以是二维复向量，也可以是四个变量的复函数（即波函数），两者本质上等价。

怎么定义长度和方向（内积）？ 每个右矢ket对应一个左矢bra，两者互为对偶（即形状为转置，每个元素为复共轭）。ket乘复数，对应bra乘复数的复共轭。\(\langle b|a \rangle\)表示bra和ket的内积，满足分配律、结合律，交换左右位置为复共轭。和自身的内积为实数。归一化为和自身的内积为1，正交为内积为0。

任何向量可用基表示，esp.单位正交基。

定义投影算符 \(P_k=|k\rangle \langle k|\)。\(P_k | a \rangle\) 表示a在k方向的投影向量。投影算符的平方为它本身；正交方向投影算符相乘为0；所有正交方向投影算符相加为恒等变换I。

狄拉克符号的应用？

用ket h表示水平方向 (1,0)，用ket v表示垂直方向 (0,1)。Ph表示水平方向投影算符 (1,0;0,0)，Pv表示垂直方向投影算符 (0,0;0,1)。任何矢量p能沿h、v方向分解，若p归一则两系数的平方和为1。

p表示量子态，则分解的系数表示量子态的分量，称为几率符（波函数也是几率符，波函数的平方表示概率）。在某方向量子态的概率，即沿该方向单位向量分解后系数的平方，垂直方向概率和为1。

早期量子信息应用：对量子振动方向编码，Alice传播不同振动方向组合的量子，以传播信息给Bob。中间窃听人Eve，探测接收到的量子并发出相同的量子，由此得到和Bob相同的信息。如果防止Eve窃听，可使用不同的编码。

总结

量子态用二维矢量空间中的单位矢量表示（如果不用单位矢量，则概率计算无意义）。