刚体动力学概述

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刚体运动学概述

e.g.

鸟类飞行集群模拟：建模相对位置关系对飞行速度和方向的关系。排斥力、一致性力、吸引力
刚体机器人模拟：真实的力反馈

刚体：只有平移和旋转，没有形变；不会相互穿透

前向运动学

在已知所有关节的角度和关节之间的长度等参数的情况下，计算出末端执行器（End-Effector）在空间中的最终位置和方向。

正交矩阵：如果一个方阵的转置等于它的逆矩阵，则称其为正交矩阵。每个行向量（或列向量）的长度为 1，不改变向量的长度和向量之间的夹角。正交矩阵的行列式为 1 或-1。

旋转矩阵是正交矩阵，是保距变换。（任意两点间距离在变换前后保持不变）

多关节计算末端：

已知所有关节的旋转$R_i$，求局部坐标系位置$x_0$在全局坐标系的位置：

for i from the root to the end effector:

\[ Q_i=Q_{i-1}R_i \\ \mathbf{p}_{i+1}=\mathbf{p}_i+Q_i\mathbf{l}_i \]

$\mathbf{x}=\mathbf{p}_E+Q_E\mathbf{x}_0$

关节运动限制：

运动角度：$\theta_{min}\le\theta\le\theta_{max}$
自由度（DoF）

逆向运动学

给定末端点位置 x，计算每个关节的旋转参数。

计算方法（e.g.）：按机械臂长度画圆，交点为关节位置

优化求解：

找到更新参数的合理方向
沿着该方向更新参数，加入噪声
重复上述过程直到末端执行器到达指定位置

循环坐标下降法：

迭代旋转每个关节，使末端执行器与关节连线和目标之间的矢量对齐。

优化当前角度：旋转第 i 个关节，使得 i/n 连线尽可能指向目标位置
上一个关节优化：旋转第 i-1 个关节，使得 i-1/n 连线尽可能指向目标位置。直到优化第 0 个关节
迭代优化：重复迭代上述两步

Pros:

易于实现，计算开销小

Cons:

可能需要大量迭代才能收敛
对初始位置非常敏感

梯度下降法：

根据目标函数的梯度方向更新参数

\[\theta^{i+1}=\theta^i-\alpha\nabla_{\theta}F(\theta^i)\]

Jacobian 矩阵：

\[ J=\frac{\partial f}{\partial \theta} =\left( \frac{\partial f}{\partial\theta_0}\quad\frac{\partial f}{\partial\theta_1}\quad \cdots \quad \frac{\partial f}{\partial\theta_n} \right) \]

\[\theta^{i+1}=\theta^i-\alpha J^T\Delta\]

逆运动学方法可分为两类：

解析法
特点：闭式解、全局可靠、对奇异性不敏感、计算代价低，适合低自由度或结构规整的机构与规划
局限：难以扩展到高度冗余与高自由度的刚体系统，常因非线性与可扩展性不足而不适合大规模逆运动学问题
数值法
Jacobian 系列：以雅可比线性化、步进更新误差，方法体系完备但易受奇异性与线性近似影响，需要阻尼／截断等稳定化策略

进一步学习逆运动学方法：

数值法
Newton ／准牛顿：基于二阶泰勒近似与 Hessian 近似，收敛过程平滑、求解过程易纳入约束、避免雅可比奇异性。但每步代价高，工程实现更复杂
启发式法（如循环坐标下降）：操作简单、收敛快，适合交互控制；但全局时空一致性与控制流畅性较弱
数据驱动法
核心思想：用预学习的姿态／概率模型保证输出落在可行的解空间
混合法
将问题分解并结合解析与数值方法，系统不同部分选用不同子求解器，兼顾效率与质量

质点动力学概述

用质点性质研究刚体的运动。

积分难求解：将时间离散化

显式积分（Explicit Euler）和隐式积分（Implicit Euler）

从$ t^{[0]} $ 到 $t^{[1]} $ 对函数$ v(t) $ 积分，显式积分将矩形高度设置为$v(t^{[0]}) $ ，隐式积分将矩形高度设置为$v(t^{[1]}) $。

总结（by chatgpt）

1. 显式积分 (Explicit Integration)

核心思想：下一步状态直接由当前状态计算。

公式（前向欧拉法）：

\[ x_{n+1} = x_n + \Delta t \, f(x_n, t_n) \]

特点：
计算简单，速度快。
只依赖当前状态 $x_n$。
容易发散，稳定性差，需要小时间步长（Δt）。
应用：实时性要求高但精度要求不高的场景（如简单动画）。

2. 隐式积分 (Implicit Integration)

核心思想：下一步状态依赖下一步导数，需要解方程。

公式（后向欧拉法）：

\[ x_{n+1} = x_n + \Delta t \, f(x_{n+1}, t_{n+1}) \]

特点：
需要解隐式方程（通常要求解线性/非线性方程组）。
数值稳定性高，可以使用较大时间步长。
计算量大。
应用：刚性系统（stiff system）、结构力学、有限元分析。

3. 半隐式积分 (Semi-implicit Integration / Symplectic Euler)

介于显式与隐式之间，常用于物理仿真。

公式（常见形式）：先更新速度，再更新位置，例如：

\[ v_{n+1} = v_n + \Delta t \, f(x_n, v_n) \\ x_{n+1} = x_n + \Delta t \, v_{n+1} \]

特点：
计算量和复杂度接近显式。
稳定性优于显式，但不如隐式。
保持一定能量守恒特性（在长时间模拟中不容易发散）。
应用：游戏物理、粒子系统、动力学仿真。

欧拉角的死锁问题（略）

四元数（略）